Matemática Conjuntos Numéricos
(....,-3,-2,-1,0,1,2,3,...) 
O conjunto dos números inteiros não negativos, é aquele em que não há números inteiros negativos (0,1,2,3,...) 
O conjunto dos números não positivos:
O conjunto dos números negativos
São todos os números que podem ser escritos na forma de fração, que x = a sobre b, onde a pertença (E) á Z e b pertença á 
Números Naturais (N)
(0,1,2,3,...), Não existe um número maior que todos os outros números, pois sempre haverá um maior.
Subconjuntos: Números Impares, Números Pares,...
O conjunto dos números naturais não nulos (N*) é aquele, onde não há o zero: (,1,2,3,...)
Números Inteiros ( Z)
(....,-3,-2,-1,0,1,2,3,...)
O conjunto dos números inteiros não nulos (....,-3,-2,-1,,1,2,3,...)
O conjunto dos números inteiros não negativos, é aquele em que não há números inteiros negativos (0,1,2,3,...)
O conjunto dos números positivos:
O conjunto dos números não positivos: O conjunto dos números negativos
Números Racionais (Q)
São todos os números que podem ser escritos na forma de fração, que x = a sobre b, onde a pertença (E) á Z e b pertença á
Obs: decimais:
Decimais Exatos: 1,2= 12 sobre 10, se coloca um zero a cada número após a virgula.
Dízima periódica simples (só aparece, o período que se repete).
0,444= 4 sobre 9, pois se coloca tantos noves quanto forem os período ,
0,232323.. = 23 sobre 99.
Dízima periódica composta ( aparece não períodos)
0,1222.., o 1 é um não período, pois não se repete, assim se coloca tantos zeros quanto forem os não períodos, e tantos noves, forem os períodos, e faz o não período + o período, no caso 12, - o não período no caso 1, assim fica 11 sobre 90.
Números Irracionais (Q´):
Dízimas formadas apenas por elementos não periódicos, infinitamente.
Podem ser resultados de raízes não exatas, tipo: raiz quadrada de 2, raiz cúbica de 5, etc...
Números Complexos ( C):
São as raízes que não tem resultado, por exemplo: a raiz quadrada de -16, não existe pois -16 X – 16= + 16.
Números reais (R):
São os números racionais unidos com os números irracionais (QUQ´)
Frações (divisão):
Divisão: 3 sobre 4 dividido por 4 sobre 5, nesse caso se inverte a segunda fração e se multiplica as duas frações ficando, 3 sobre 4, multiplicado por 5 sobre 4.
Frações Irredutíveis: são frações que não podem mais ser simplificadas.
Números primos: são aqueles que só são divisíveis por si mesmos.
Potenciação:
Potencia= o resultado da potenciação.
Na potenciação, há a base, elevada pelo expoente, assim se multiplica a base o número de vezes que o expoente indicar.
Se o expoente é par, a base é negativa, o resultado se torna positiva.
Sendo A, diferente de 0:
Ø A elevado á 1= A
Ø A elevado á zero= 1
-5 elevado a 2 é diferente de (-5) elevado a 2, pois -5 elevado á segunda é igual: - (5 . 5) = -25 e (-5) elevado á quinta = (-5) . (-5) = +25
Potenciação de expoentes inteiros negativos:
A elevado á -2= 1 sobre A elevado á 2, (desde que a não seja igual á 0) assim para realizar a potenciação com expoentes negativos, seve inverter a
0 elevado a -4 = 0
Oposto e inverso:
3 elevado a -2 é igual a 1 terço elevado á 2, nesse caso -2 e 2 são opostos.
- ( 2 sobre 5) elevado á -3 = -(5 sobre 2) elevado á 3, assim –(2 sobre 5) é o inverso de – (5 sobre 2).
Propriedades da Potenciação:
1- Produtos de Potencias de mesma base:
3 elevado ao cubo, X 3 elevado á 4= 3 elevado a 7, pois em potencias de mesma base, quando estas multiplicadas, basta somar os seus expoentes.
2- Quociente do produto de mesma base
2 elevado á 500 dividido por 2 elevado á 200= 2 elevado á 200-500. Assim numa divisão de potencias se repete a base e subtrai os expoentes.
3- [(7 elevado á 3) elevado á 2] = 7 elevado a 3 . 2= 7 elevado á 6. Assim quanto se eleva o número ainda mais usado parênteses, colchetes, etc.., se multiplica os expoentes.
Obs:
Potencias de base 10, se deve colocar quantos zeros indicar o expoente, não sendo necessário multiplicar um por um termo, por exemplo: 10 elevado á 5= 100.000.
No caso, se houver potencias de base 10 e expoentes negativos: se faz a mesma coisa agora, o primeiro zero fica sendo o único inteiro, e os outros, passam a vírgula. Exemplo 10 elevado á -5 = 0,00001.
Noção cientifica: 1,7 . (10 elevado á 10)= 17.000.000.000. Se você sabe apenas o número 17.000.000.000, e quer transformá-lo para a noção cientifica, a base deve ir de 1 a 10, portanto fica 1,7, . 10 elevado á quantas cassas tiver depois da vírgula, assim serão 10 casas. 1,7 . 10 elevado á 10. O mesmo se aplica á números não inteiros: 0,01= 1 . 10 elevado á -2, pois são duas casas depois da vírgula, e nesse caso o expoente é negativo, pois está indo para esquerda e não direita, como no caso anterior.
Decomposição: a decomposição deve ser feita apenas com números primos como decompositores, começa usando 2, se o número decomposto, não poder ser dividido por dois, se usa 3, e se não der, 5 , etc...
Para se descobrir o expoente de uma base, se pega o resultado a potencia, e se decompõem esse número, então o numero total que foi usado o decompositor, vai ser o expoente.
Para descobrir a base, se decompõem a potencia, e se agrupa a quantidade de vezes que foi usado o decompositor, por exemplo, o decompositor é 2, ele é usado 11 vezes, se agrupa cada vez que ele foi usado em grupos, de x quantidades desse compositor, entretanto devem ser criados 5 grupos, pois o expoente do numero decomposto é 5, e ai vão ser 5 grupos de 2, cada grupo com dois números dois, assim dá 5 números 4, assim 4 é a base.
Sempre que possível simplifique, tanto frações quanto potenciações.
Obs 2: 1 sobre 3, elevado á 1, sem parêntese,= 1 . 1sobre 3.
Agora, com parêntese, fica: 1.1 sobre 3 . 3.
1- Potência de um produto:
A elevado á N, multiplicado por B elevado á N= (A . B) elevado á N.
Isso é diferente de (A + B) elevado á N.
2- Potência de um quociente:
A elevado á N, dividido por B elevado á N= (A ÷ B) elevado á N.
Radiciação
Potenciação: 4 elevado á 2 = 16 (inverso da radiciação).
Radiciação: raiz quadrada de 16 = 4 ( inverso da potenciação).
Para se descobrir a raiz de um número (quadrado, cúbica, etc..) se deve realizar a decomposição desse número. Por exemplo, 50 decomposto vai dar 5, 5 e 2, se for para descobrir sua raiz quadrada, será raiz quadrada de 5 ao quadrado . 2, nesse caso se deve dividir o índice (no caso da raiz quarada, 2) pelos expoentes dos números= 5, como é ao quadrado sairá da raiz e ficara 5 normal, agora 2 sozinho não é elevado ao um número múltiplo de dois, portanto o resultado ficara= 5 . raiz quadrada de 2.
Escrita:
0,1= um décimo.
0,11= um centésimo.
0,111= um milésimo.
0,1111= um décimo de milésimo.
0,11111= um milionésimo.
• Se os denominadores originais são primos entre si, no caso 3 e 4 são primos entre si (só apresentam o número 1 como único divisor comum).
1 sobre 4 + 2 sobre 3= 3 sobre 12 (pois o 4 . 3 = 12, assim 12 dividido por 4 = 3, assim se multiplica 3 . 1= 3) + 8 sobre 12 (pois o 4 . 3 = 12, assim 12 dividido por 3 = 4, assim se multiplica 4 . 2= 8), depois de igualar os denominadores, se retira eles, ficando 3 + 8.
• Se não são primos entre si
4 sobre 2 + 2 sobre 4, se repete o maior denominador, 2 sobre 4, e assim o outro para ter seu denominador igual, se divide 4 (primeiro denominador) por 2 (segundo denominador), e o resultado da multiplicação pelo segundo denominador, que no caso vai ser : 2 x 4 , ficando 2 sobre 4 + 8 sobre 4.
Parêntese:
2x elevado á 2 = 2 . x elevado á 2, (2x) elevado á 2 = (2x) elevado á 2
Outras Obs:
2x e 2y, não são primos entre si, ( pois tem como divisores comuns 2 e 1).
Obs:
Uso de mais de uma propriedade:
9 elevado á 3 x 8 elevado á 2 = [(3 elevado ao quadrado) elevado ao cubo] x [(2 elevado ao cubo) elevado ao quadrado] = 3 elevado á sexta x 2 elevado á sexta = 6 elevado á sexta = 46656.
Igualando os denominadores:
• Se os denominadores originais são primos entre si, no caso 3 e 4 são primos entre si (só apresentam o número 1 como único divisor comum).
1 sobre 4 + 2 sobre 3= 3 sobre 12 (pois o 4 . 3 = 12, assim 12 dividido por 4 = 3, assim se multiplica 3 . 1= 3) + 8 sobre 12 (pois o 4 . 3 = 12, assim 12 dividido por 3 = 4, assim se multiplica 4 . 2= 8), depois de igualar os denominadores, se retira eles, ficando 3 + 8.
• Se não são primos entre si
4 sobre 2 + 2 sobre 4, se repete o maior denominador, 2 sobre 4, e assim o outro para ter seu denominador igual, se divide 4 (primeiro denominador) por 2 (segundo denominador), e o resultado da multiplicação pelo segundo denominador, que no caso vai ser : 2 x 4 , ficando 2 sobre 4 + 8 sobre 4.
Parêntese:
2x elevado á 2 = 2 . x elevado á 2, (2x) elevado á 2 = (2x) elevado á 2
Outras Obs:
2x e 2y, não são primos entre si, ( pois tem como divisores comuns 2 e 1).
A raiz 0 de x, não existe.
Raízes de números negativos, tanto faz colocar o parêntese ou não.
Radical Aritmético (condição de existência para ser usada nas propriedades da radiciação).
Índice n e radicando a, n = número natural maior que 1, a = número positivo.
Propriedades da radiciação
Ø Se o expoente é igual ao índice, o resultado é igual á base. Exemplo:
Raiz quadrada de 25= raiz quadrada de 5 elevado á 2, assim o resultado será 5.
Ø Nessa propriedade o expoente e o índice poderão ser divididos ou multiplicados, por um mesmo número. Exemplo:
Raiz quadrada de 2 elevado á 2 = divide se o índice 2 por 2 e o expoente 2 por 2, assim a resposta é 2.
Ø A raiz de uma multiplicação de dois termos, se pode multiplicar os termos e encontrar a raiz do resultado ou se pode tirar a raiz de cada termo isoladamente e depois multiplicar os seus resultados. Essa propriedade nem sempre si aplicará á soma e a subtração.
Ø Para achar a raiz de uma fração, você pode dividi-la é achar a raiz do resultado, ou pode achar a raiz de cada termo e dividi-los.
Obs:
1 inteiro + 1 quinto, se deve fazer 5 (denominador) x 1 (inteiro) e somar com 1 (numerador), e ai o resultado será o numerador.
A raiz quadrada de -2 elevado á 2 não existe no conjunto dos números reais, mais se o -2 tiver um parêntese, somente ai, ela existirá nos conjuntos dos números reais.
No caso de 3 . raiz de 3, dividido por 3 . raiz de 3, se pode cortar as duas raízes, ficando 3 dividido por 3.
Operações com radicais:
Multiplicação: se houver índices diferentes se iguala os índices e multiplica, se os índices forem iguais se usa as propriedades da radiciação de multiplicar as bases e repetir os índices.
Divisão: se houver índices diferentes se iguala os índices e divide, se os índices forem iguais se usa as propriedades da radiciação de dividir as bases e repetir os índices.
Adição e subtração:
• 3 × Raiz quadrada de quatro + 4 × Raiz quadrada de quatro = (3+4) × raiz quadrada de quatro
• Se houver quatro conjuntos de números, e se nem todos apresentarem o mesmo radicando ( 5 × raiz quadrada de 5 + 6 × raiz cúbica de 3 + 7 × raiz quadrada de 6 + 8 × raiz cúbica de 3), agrupe dois que podem ser somados 5 × raiz quadrada de 5 + 7 × raiz quadrada de 6, assim haverá dois conjuntos no final um de raiz cúbica e outro de raiz quadrada.
• Para chegar á radicando iguais, quanto possível simplifique o número, assim como fazemos em potenciações. Raiz quadrada de 32 = 2² × 2² × 2, assim ficará 4 × raiz quadrada de 2.
• Se houver letras juntes as 3 primeiras propriedades da adição e subtração e tente resolver, lembre-se que 27 A ³, será 27 x a³.
Potenciação: (raiz quinta de 2)³, nesse caso se ira multiplicar o índice, no caso 3, pela expoente de no caso 2, que o expoente no caso de 2, vai ser 1, assim ficará raiz quinta de 2³.
Radiciação: raiz cúbica de raiz quadrada de 2, se multiplica os índices= 2 × 3 = 6, raiz 6 de 2.
OBS:
2(x + 2) + 2(x + 2) = 2, se pode simplificar tudo por dois / (x + 2) + (x + 2) = 0
4 . 1 sobre 2 = 4 sobre 1 . 1 sobre 2.
3 + 3 raiz de 3 sobre seis, nesse caso, simplificamos tudo por 3 menos a raiz que não pode ser simplificada.
(10 . raiz de dois) (raiz de 2), nesse caso, não podemos multiplicar a raiz de dois por 10, apenas pela outra raiz, ficando: 10 . raiz quadrada de 2 ². Mais é claro que quando é 4x . 4x = 16x².
A raiz de 4 m = 2 raiz de m.
Fórmulas dos produtos notáveis:
(a + b)²= a² +2ab + b²
(a – b)² = a² -2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² - b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(-a – b)² = (a + b)²
(-a + b)² = (a – b)²
(-a + b) (a + b) e (a + b) (-a + b) = b² - a²
(-a + b) (-a –b) = b² - a²
Obs: è obrigatório usar essas fórmulas, quando no enunciado diz: Calcule usando produtos notáveis.
(-√(x+11))² = + x +11 ( o -1 também é elevado ao quadrado).
Divisão:
Se o divisor ou dividendo conterem casas decimais antes da virgula, deve se triplicá-los por múltiplos de 10, para que estes fiquem com todas as casas decimais após a virgula.
Se houver a necessidade de se abaixar mais casas decimais do dividendo, é só colocar um zero no cociente.
Após acabarem as casas decimais do dividendo, se coloca uma vírgula no cociente, e se coloca tantos zeros no cociente quanto forem necessários.
Raciocínio lógico matemático: 500 dividido por um número (desde que esse número seja maior que um) o resultado será menor que 500, pois 500 ÷ 1 = 500, assim 500 dividido por um número menor que 500, terá o resultado igual á maior que 500.
Obs:
t² = 3 × t ².Pois como está sem parêntese só se eleva ao quadrado o algarismo que o contem.
Assim: ab² é diferente a²b.
A raiz 1 de um algarismo será o próprio algarismo.
A raiz 0 de um algarismo não existe.
(3. raiz de um número) elevado á 4, nesse caso o 4 multiplica além do expoente do numero dentro da raiz, vai multiplicar o expoente do 3 também.
Introdução de fatores no radical
2 raiz quadrada de 5= raiz quadrada de 5 . 4= raiz quadrada de 20.
X . raiz de índice Y de um numero Z= raiz de índice Y de X elevado á y . Z
Raiz cúbica de 2 . raiz quadrada de 3= raiz cúbica de raiz quadrada de 3. 4= raiz cúbica de raiz quadrada de 12.
Quando tiver raiz sexta de 4 + raiz quadrada de 4, como é uma adição, passaremos o raiz quadrada de 4 para o raiz sexta de 4, ficando raiz sexta de 4 + 2, e não pode passar o 4 raiz de seis para o 4 raiz quadrada, pois é uma soma.
Racionalização de denominadores.
3 sobre raiz de 2 (denominador irracional), se multiplica os dois pelo mesmo número, uma raiz com o mesmo índice e o mesmo número do denominador, no caso raiz quadrada de 2 = 3 . Raiz de 2 sobre raiz de 2 á segunda, = 3 . Raiz de 2 sobre 2. O numero que ira multiplicar os dois estará elevado á um número menor que o índice, por exemplo:
2 sobre raiz cúbica de 3, o número que vai multiplicar os dois é raiz cúbica de 3, entretanto , o três deve ser elevado a um numero menor que o índice 3, 3-1 = 2, assim ficará 2 sobre raiz cúbica de 3, os dois multiplicados por raiz cúbica de 3 elevado á segunda.
3 sobre raiz de 2 + raiz 3, nesse caso devemos multiplicar o denominador e o numerador pelo oposto de raiz de 2 + raiz de 3 que é raiz de 2 – raiz de 3 (apenas se troca o sinal), assim teremos: 3. raiz de 2 – 3 . raiz de 3 sobre raiz de 2² - raiz de 3² (produtos notáveis) = 3 . raiz de 2 – 3 . raiz de 3 sobre -1 (nesse caso multiplicamos a expressão inteira por -1, para deixarmos o denominador positivo) = 3. Raiz de 2 – 3 . raiz de 3.
OBS:
2x + 2 sobre 2= 2 (x + 1) sobre 2, corta-se os dois, = X + 1
(a raiz quadrada de 4 + raiz quadrada de 3)³ = (a raiz quadrada de 4 + raiz quadrada de 3)² . (a raiz quadrada de 4 + raiz quadrada de 3), depois o ² corta a primeira raiz quadrada e fica: (4 + raiz de 3) (raiz de 4 + raiz de 3).
Potências com expoente fracionário
A elevado á m sobre n = raiz de índice n de A elevado á m. Como exemplo: 3 elevado á 2 sobre 3 = raiz cúbica de 3 elevado ao cubo.
Quando a fração é negativa fazemos a mesma coisa, entretanto, 1 vai ficar sobre o radical, por exemplo: 2 elevado á - 4 sobre 3 = 1 sobre raiz cúbica de 2 elevado á quarta.
Quando há um número decimal ou uma dizima periódica, transformamos ele em fração.
Equações de 2 Grau
Uma equação de 2 Grau completa está na forma Ax² + bx + c = 0 e a é diferente de 0.
Quando b ou c = o, a equação é incompleta.
Quando uma incógnita é substituída por um número e a equação é verdadeira, dizemos que este número é raiz da equação.
Resoluções de equações incompletas:
1 Caso: Quando b= 0
4x² - 100 = 0
4x² = 100
x²= 100 sobre 4
x= + ou - raiz quadrada de 25
2 caso: Quando b e c = 0
3x² = 0
x² = 0 sobre 3
x= raiz de 0
3 caso: Quando c = 0.
3x² - 5x = 0 (deve-se colocar em evidencia)
x (3x – 5) = 0 [assim ou o primeiro x = 0 ou (3x – 5) = 0].
x = 0 / 3x = 5
x = 0 / x= 5 sobre 3
Resoluções de equações completas:
Meio: pela fatoração do trinômio quadrado perfeito:
4x² + 4x +1 = 0 (nesse caso, devemos encontrar o resultado das raízes quadradas, do 1 e do 3 termo).
Raiz quadrada de 4x² = 2x e a raiz quadrada de 1 = 1 (assim feito isso, multiplicaremos sempre 2 pelos resultados).
2 . 2x . 1 = 4x (assim vemos que esse é um trinômio quadrado perfeito, pois essa multiplicação deu o 2 termo (4x).
(2x + 1)² (sabendo que essa equação é um trinômio quadrado perfeito, colocamos os termos resultantes das raízes, e colocamos ele ao quadrado, entretanto, o sinal entre eles será o sinal do 2 termo, onde não foi extraído sua raiz (no caso + 4x), assim o sinal no caso será +.
OBS:
Há casos que primeiramente deveremos multiplicar tudo por -1, pois se não as raízes serão números complexos.
Há também, casos onde, a raiz de um dos termos (1 ou 3) não é exata como:
x² +6x – 7 = 0 (assim passamos o -7 para o outro lado)
x² + 6x = 7 (depois, vemos qual é a raiz de x²)
2 . x (raiz de x²) . algum número (y) [sabemos que o segundo termo é 6x, assim 2. x . y = 6x, logicamente, para ficar 6x, y deve ser 3, pois 2 . x . 3 = 6x)]. Sabemos também que a raiz quadrada de 9 = 3, por tanto, devemos somar 9 com o 7.
(x + 3)² = 7 + 9.
Formula de Baskara: é uma forma com a presença dos termos a, b e c de uma equação neste formato Ax² + bx + c = 0.
Onde = (b)² - 4 .a . c
x = -(b) + ou – a raiz quadrada de sobre 2 . a
OBS:
Kx², neste caso, k = a.
Regra de 3:
1h = 60m
0,3 h = x m (nesse caso multiplicamos os opostos).
1 . x = 0, 3 . 60
(raiz de 3 mais raiz de 2)², deve se usar produtos notáveis, não pode ficar raiz de 3² + raiz de 2², pois é uma soma.
Probabilidade:
X (valor de algo) sobre todo o valor de onde o x foi extrarido.
Geometria:
A área superficial é a mesma coisa que a área total, exceto que a “tampa” de um objeto é cortado, e a área total de um paralelepípedo é calculada pela Al + 2.ab
Para se descobrir o número de diagonais de um polígono regular de n lados, se deve utilizar a forma:
Número de diagonais= n² - 3n sobre 2.
Área de um triângulo é igual a sua base maior multiplicada pela sua altura sobre 2.
Área de um trapézio: (base maior + base menor) (altura) sobre 2.
Área de um losango: (Diagonal maior . Diagonal menor) sobre 2
Área de um trapézio: ((h)(B+b))/2
Volume de um paralelepípedo: comprimento . largura . altura.
Teorema de Pitágoras:
Em um triângulo retângulo, o quadrado do maior lado, a hipotenusa (a²) = a soma dos quadrados dos menores lados, os catetos, (b² + c ²).
Aproximação:
Por até 2 décimos, devemos dividir até 3 décimos, para ver se o próximo número é maior ou menor que 5. Se o número for menor, 8,333. Se deixa como está 8,33. Se for maior 8,338 se acrescenta mais um número no segundo décimo, 8,34. Se o terceiro número for 5 se deixa como está 8,335 = 8,33.
Formulas:
A= B sobre C, nesse caso, não se pode passar B multiplicando A, pois quem está dividindo é C, e não B.
Equação biquadrada
É toda a equação do 4 grau que pode ser inscrita na forma de ax4 + bx2 + C = 0
Para resolver colocamos essa equação na forma de a(x2)2 + bx2 + C = 0, e nesse caso dizemos que x2 é = y. Então calculamos y e então substituímos na equação x2 = y, ficando x = raiz quadrada de y.
Equação Irracional
Raiz quadrada de x + 5 = x -1, nesse caso elevamos os dois ao 2, ficando (raiz de X + 5)2 = (x – 1)2, que cortaremos o índice da raiz com o expoente ficando, X + 5 = x2 -2x + 1 (produtos notáveis), e então achamos o valor de x, entretanto isso não significa que o x achado vai ser igual ao o x da equação original, Raiz quadrada de x + 5 = x -1, por isso devemos substituir x e verificar.
Relação entre coeficientes
XI ∙ XII = c/a
XI + XII= (-b)/a
Podemos achar os números de uma maneira muito fácil, se o problema der o resultado da soma e do quociente das raízes da equação, vemos que números multiplicados e somados são eles.
OBS:
-(x+4)/10 = (-x-4)/10, pois o 10 não está sendo multiplicado por menos 1.
3((x+4)/9) = (x+4)/3
Sistema de Equações do 2 grau.
{x+2y=5 e 3x+y²=7
Utilizamos os mesmos métodos da resolução de sistemas, usando métodos como, o da comparação, da adição, substituição e do gráfico. Nesse sistema, primeiro vem x e depois y, assim vai ficar a solução. S = <(-3,4)(1,2)>
Em problemas, a resposta não pode ser dada no sistema de solução e sim em respostas.
No caso de 3 . raiz de 3, dividido por 3 . raiz de 3, se pode cortar as duas raízes, ficando 3 dividido por 3.
Operações com radicais:
Multiplicação: se houver índices diferentes se iguala os índices e multiplica, se os índices forem iguais se usa as propriedades da radiciação de multiplicar as bases e repetir os índices.
Divisão: se houver índices diferentes se iguala os índices e divide, se os índices forem iguais se usa as propriedades da radiciação de dividir as bases e repetir os índices.
Adição e subtração:
• 3 × Raiz quadrada de quatro + 4 × Raiz quadrada de quatro = (3+4) × raiz quadrada de quatro
• Se houver quatro conjuntos de números, e se nem todos apresentarem o mesmo radicando ( 5 × raiz quadrada de 5 + 6 × raiz cúbica de 3 + 7 × raiz quadrada de 6 + 8 × raiz cúbica de 3), agrupe dois que podem ser somados 5 × raiz quadrada de 5 + 7 × raiz quadrada de 6, assim haverá dois conjuntos no final um de raiz cúbica e outro de raiz quadrada.
• Para chegar á radicando iguais, quanto possível simplifique o número, assim como fazemos em potenciações. Raiz quadrada de 32 = 2² × 2² × 2, assim ficará 4 × raiz quadrada de 2.
• Se houver letras juntes as 3 primeiras propriedades da adição e subtração e tente resolver, lembre-se que 27 A ³, será 27 x a³.
Potenciação: (raiz quinta de 2)³, nesse caso se ira multiplicar o índice, no caso 3, pela expoente de no caso 2, que o expoente no caso de 2, vai ser 1, assim ficará raiz quinta de 2³.
Radiciação: raiz cúbica de raiz quadrada de 2, se multiplica os índices= 2 × 3 = 6, raiz 6 de 2.
OBS:
2(x + 2) + 2(x + 2) = 2, se pode simplificar tudo por dois / (x + 2) + (x + 2) = 0
4 . 1 sobre 2 = 4 sobre 1 . 1 sobre 2.
3 + 3 raiz de 3 sobre seis, nesse caso, simplificamos tudo por 3 menos a raiz que não pode ser simplificada.
(10 . raiz de dois) (raiz de 2), nesse caso, não podemos multiplicar a raiz de dois por 10, apenas pela outra raiz, ficando: 10 . raiz quadrada de 2 ². Mais é claro que quando é 4x . 4x = 16x².
A raiz de 4 m = 2 raiz de m.
Fórmulas dos produtos notáveis:
(a + b)²= a² +2ab + b²
(a – b)² = a² -2ab + b²
(a + b) (a – b) = a² - b²
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(-a – b)² = (a + b)²
(-a + b)² = (a – b)²
(-a + b) (a + b) e (a + b) (-a + b) = b² - a²
(-a + b) (-a –b) = b² - a²
Obs: è obrigatório usar essas fórmulas, quando no enunciado diz: Calcule usando produtos notáveis.
(-√(x+11))² = + x +11 ( o -1 também é elevado ao quadrado).
Divisão:
Se o divisor ou dividendo conterem casas decimais antes da virgula, deve se triplicá-los por múltiplos de 10, para que estes fiquem com todas as casas decimais após a virgula.
Se houver a necessidade de se abaixar mais casas decimais do dividendo, é só colocar um zero no cociente.
Após acabarem as casas decimais do dividendo, se coloca uma vírgula no cociente, e se coloca tantos zeros no cociente quanto forem necessários.
Raciocínio lógico matemático: 500 dividido por um número (desde que esse número seja maior que um) o resultado será menor que 500, pois 500 ÷ 1 = 500, assim 500 dividido por um número menor que 500, terá o resultado igual á maior que 500.
Obs:
t² = 3 × t ².Pois como está sem parêntese só se eleva ao quadrado o algarismo que o contem.
Assim: ab² é diferente a²b.
A raiz 1 de um algarismo será o próprio algarismo.
A raiz 0 de um algarismo não existe.
(3. raiz de um número) elevado á 4, nesse caso o 4 multiplica além do expoente do numero dentro da raiz, vai multiplicar o expoente do 3 também.
Introdução de fatores no radical
2 raiz quadrada de 5= raiz quadrada de 5 . 4= raiz quadrada de 20.
X . raiz de índice Y de um numero Z= raiz de índice Y de X elevado á y . Z
Raiz cúbica de 2 . raiz quadrada de 3= raiz cúbica de raiz quadrada de 3. 4= raiz cúbica de raiz quadrada de 12.
Quando tiver raiz sexta de 4 + raiz quadrada de 4, como é uma adição, passaremos o raiz quadrada de 4 para o raiz sexta de 4, ficando raiz sexta de 4 + 2, e não pode passar o 4 raiz de seis para o 4 raiz quadrada, pois é uma soma.
Racionalização de denominadores.
3 sobre raiz de 2 (denominador irracional), se multiplica os dois pelo mesmo número, uma raiz com o mesmo índice e o mesmo número do denominador, no caso raiz quadrada de 2 = 3 . Raiz de 2 sobre raiz de 2 á segunda, = 3 . Raiz de 2 sobre 2. O numero que ira multiplicar os dois estará elevado á um número menor que o índice, por exemplo:
2 sobre raiz cúbica de 3, o número que vai multiplicar os dois é raiz cúbica de 3, entretanto , o três deve ser elevado a um numero menor que o índice 3, 3-1 = 2, assim ficará 2 sobre raiz cúbica de 3, os dois multiplicados por raiz cúbica de 3 elevado á segunda.
3 sobre raiz de 2 + raiz 3, nesse caso devemos multiplicar o denominador e o numerador pelo oposto de raiz de 2 + raiz de 3 que é raiz de 2 – raiz de 3 (apenas se troca o sinal), assim teremos: 3. raiz de 2 – 3 . raiz de 3 sobre raiz de 2² - raiz de 3² (produtos notáveis) = 3 . raiz de 2 – 3 . raiz de 3 sobre -1 (nesse caso multiplicamos a expressão inteira por -1, para deixarmos o denominador positivo) = 3. Raiz de 2 – 3 . raiz de 3.
OBS:
2x + 2 sobre 2= 2 (x + 1) sobre 2, corta-se os dois, = X + 1
(a raiz quadrada de 4 + raiz quadrada de 3)³ = (a raiz quadrada de 4 + raiz quadrada de 3)² . (a raiz quadrada de 4 + raiz quadrada de 3), depois o ² corta a primeira raiz quadrada e fica: (4 + raiz de 3) (raiz de 4 + raiz de 3).
Potências com expoente fracionário
A elevado á m sobre n = raiz de índice n de A elevado á m. Como exemplo: 3 elevado á 2 sobre 3 = raiz cúbica de 3 elevado ao cubo.
Quando a fração é negativa fazemos a mesma coisa, entretanto, 1 vai ficar sobre o radical, por exemplo: 2 elevado á - 4 sobre 3 = 1 sobre raiz cúbica de 2 elevado á quarta.
Quando há um número decimal ou uma dizima periódica, transformamos ele em fração.
Equações de 2 Grau
Uma equação de 2 Grau completa está na forma Ax² + bx + c = 0 e a é diferente de 0.
Quando b ou c = o, a equação é incompleta.
Quando uma incógnita é substituída por um número e a equação é verdadeira, dizemos que este número é raiz da equação.
Resoluções de equações incompletas:
1 Caso: Quando b= 0
4x² - 100 = 0
4x² = 100
x²= 100 sobre 4
x= + ou - raiz quadrada de 25
2 caso: Quando b e c = 0
3x² = 0
x² = 0 sobre 3
x= raiz de 0
3 caso: Quando c = 0.
3x² - 5x = 0 (deve-se colocar em evidencia)
x (3x – 5) = 0 [assim ou o primeiro x = 0 ou (3x – 5) = 0].
x = 0 / 3x = 5
x = 0 / x= 5 sobre 3
Resoluções de equações completas:
Meio: pela fatoração do trinômio quadrado perfeito:
4x² + 4x +1 = 0 (nesse caso, devemos encontrar o resultado das raízes quadradas, do 1 e do 3 termo).
Raiz quadrada de 4x² = 2x e a raiz quadrada de 1 = 1 (assim feito isso, multiplicaremos sempre 2 pelos resultados).
2 . 2x . 1 = 4x (assim vemos que esse é um trinômio quadrado perfeito, pois essa multiplicação deu o 2 termo (4x).
(2x + 1)² (sabendo que essa equação é um trinômio quadrado perfeito, colocamos os termos resultantes das raízes, e colocamos ele ao quadrado, entretanto, o sinal entre eles será o sinal do 2 termo, onde não foi extraído sua raiz (no caso + 4x), assim o sinal no caso será +.
OBS:
Há casos que primeiramente deveremos multiplicar tudo por -1, pois se não as raízes serão números complexos.
Há também, casos onde, a raiz de um dos termos (1 ou 3) não é exata como:
x² +6x – 7 = 0 (assim passamos o -7 para o outro lado)
x² + 6x = 7 (depois, vemos qual é a raiz de x²)
2 . x (raiz de x²) . algum número (y) [sabemos que o segundo termo é 6x, assim 2. x . y = 6x, logicamente, para ficar 6x, y deve ser 3, pois 2 . x . 3 = 6x)]. Sabemos também que a raiz quadrada de 9 = 3, por tanto, devemos somar 9 com o 7.
(x + 3)² = 7 + 9.
Formula de Baskara: é uma forma com a presença dos termos a, b e c de uma equação neste formato Ax² + bx + c = 0.
Onde = (b)² - 4 .a . c
x = -(b) + ou – a raiz quadrada de sobre 2 . a
OBS:
Kx², neste caso, k = a.
Regra de 3:
1h = 60m
0,3 h = x m (nesse caso multiplicamos os opostos).
1 . x = 0, 3 . 60
(raiz de 3 mais raiz de 2)², deve se usar produtos notáveis, não pode ficar raiz de 3² + raiz de 2², pois é uma soma.
Probabilidade:
X (valor de algo) sobre todo o valor de onde o x foi extrarido.
Geometria:
A área superficial é a mesma coisa que a área total, exceto que a “tampa” de um objeto é cortado, e a área total de um paralelepípedo é calculada pela Al + 2.ab
Para se descobrir o número de diagonais de um polígono regular de n lados, se deve utilizar a forma:
Número de diagonais= n² - 3n sobre 2.
Área de um triângulo é igual a sua base maior multiplicada pela sua altura sobre 2.
Área de um trapézio: (base maior + base menor) (altura) sobre 2.
Área de um losango: (Diagonal maior . Diagonal menor) sobre 2
Área de um trapézio: ((h)(B+b))/2
Volume de um paralelepípedo: comprimento . largura . altura.
Teorema de Pitágoras:
Em um triângulo retângulo, o quadrado do maior lado, a hipotenusa (a²) = a soma dos quadrados dos menores lados, os catetos, (b² + c ²).
Aproximação:
Por até 2 décimos, devemos dividir até 3 décimos, para ver se o próximo número é maior ou menor que 5. Se o número for menor, 8,333. Se deixa como está 8,33. Se for maior 8,338 se acrescenta mais um número no segundo décimo, 8,34. Se o terceiro número for 5 se deixa como está 8,335 = 8,33.
Formulas:
A= B sobre C, nesse caso, não se pode passar B multiplicando A, pois quem está dividindo é C, e não B.
Equação biquadrada
É toda a equação do 4 grau que pode ser inscrita na forma de ax4 + bx2 + C = 0
Para resolver colocamos essa equação na forma de a(x2)2 + bx2 + C = 0, e nesse caso dizemos que x2 é = y. Então calculamos y e então substituímos na equação x2 = y, ficando x = raiz quadrada de y.
Equação Irracional
Raiz quadrada de x + 5 = x -1, nesse caso elevamos os dois ao 2, ficando (raiz de X + 5)2 = (x – 1)2, que cortaremos o índice da raiz com o expoente ficando, X + 5 = x2 -2x + 1 (produtos notáveis), e então achamos o valor de x, entretanto isso não significa que o x achado vai ser igual ao o x da equação original, Raiz quadrada de x + 5 = x -1, por isso devemos substituir x e verificar.
Relação entre coeficientes
XI ∙ XII = c/a
XI + XII= (-b)/a
Podemos achar os números de uma maneira muito fácil, se o problema der o resultado da soma e do quociente das raízes da equação, vemos que números multiplicados e somados são eles.
OBS:
-(x+4)/10 = (-x-4)/10, pois o 10 não está sendo multiplicado por menos 1.
3((x+4)/9) = (x+4)/3
Sistema de Equações do 2 grau.
{x+2y=5 e 3x+y²=7
Utilizamos os mesmos métodos da resolução de sistemas, usando métodos como, o da comparação, da adição, substituição e do gráfico. Nesse sistema, primeiro vem x e depois y, assim vai ficar a solução. S = <(-3,4)(1,2)>
Em problemas, a resposta não pode ser dada no sistema de solução e sim em respostas.
